19. Crecimiento aritmético y exponencial


Corresponde a la sesión de GA 2.19 LENTO Y RÁPIDO

La población, la reproducción de una bacteria, los réditos de un capital en el banco son ejemplos de cantidades que aumentan. Algunos de esos aumentos obedecen a una regla determinada.

Los crecimientos aritméticos y geométricos señalan dos tipos diferentes de incrementos que puede sufrir una cantidad, aplicables a diversas actividades.

Crecimiento aritmético

Para comprar un libro que cuesta $ 75.00, Juan y Martín decidieron ahorrar desde el primer día $ 15.00 diarios, hasta que reunieran el dinero. ¿Cuánto reunirían el primero, segundo, tercero, y cuarto días? ¿En cuánto tiempo tendrían reunido todo el dinero? Para saberlo se auxiliaron de una progresión, donde anotaron lo que se acumularía diariamente:

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Con lo cual se observa que para el quinto día ya estaría reunido el dinero, pues el término cinco de la progresión corresponde a la cantidad buscada.

Esta variación se puede señalar en una tabulación:

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Se puede notar que el crecimiento diario es una cantidad constante en este caso: 15, al cual se le llama incremento.

Observe en la tabla que al sumar el dinero ahorrado y el incremento se obtiene el valor del siguiente término.

Este crecimiento se puede graficar:

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A esta progresión se le da el nombre de crecimiento aritmético y su gráfica es una línea recta.

Se le llama crecimiento aritmético a la progresión cuyos términos aumentan por adición en una cantidad constante llamada razón.

En el ejemplo anterior la razón es +15.

La progresión puede ser creciente, si la razón es positiva, y decreciente si es negativa.

Ejemplo:

2, 4, 6, 8, 10 . Su razón es +2, por lo tanto es creciente.

24, 21, 18, 15, 12. Su razón es -3, por lo tanto es decreciente.

Crecimiento exponencial o geométrico

Narra un viejo cuento que un monarca a quien le gustaba mucho jugar ajedrez dijo a Sissa, creador del juego, que le concedería lo que pidiera.

La petición de Sissa fue un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente, hasta la casilla 64.

Esto pareció algo modesto y, sin embargo, no alcanzaron un puño de trigo ni un gran plato, tampoco un costal, ni siquiera toda la producción de trigo de la región. Así que el monarca no pudo cumplir su palabra. ¿Cuál fue el problema?

Se puede señalar este ejercicio por medio de un diagrama.

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Esta progresión se puede continuar. Numéricamente sería:

1, 2, 4, 8, 16, 32...

y podría continuar hasta encontrar el término 64 con que finaliza la progresión.

Si se busca la relación de cada uno de los términos de la progresión se observa que cada elemento es el doble del anterior, por lo tanto su razón es 2.

La tabulación de la progresión anterior sería la siguiente:

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Su grafica sería:

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La cual, como se observa, es una curva.

Este tipo de progresión recibe el nombre de crecimiento exponencial o geométrico.

Se le llama crecimiento exponencial o geométrico a aquella progresión que aumenta por multiplicación de una cantidad constante llamada razón.

Cuando la razón de una progresión exponencial es mayor que uno, se dice que la progresión es creciente; si la razón es menor que uno la progresión es decreciente.

Ejemplos:

3, 9, 27, 81, 243. Creciente, pues su razón es 3

Graphics. Decreciente. pues su razón es Graphics

Los crecimientos ayudan a calcular el incremento de alguna cantidad en situaciones determinadas y tiene aplicaciones en áreas como física, economía y biología, entre otras.


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