13. Semejanza de triángulos


Corresponde a la sesión de GA 2.13 TE PARECES TANTO A MI

¡Te pareces tanto a mí!. Regularmente, esta expresión se escucha en aquellas personas que observan en sus descendientes ciertos rasgos físicos que son muy similares a los suyos.

En geometría, existen casos en los que se presentan ciertas similitudes entre figuras; aquí los conceptos de congruencia o semejanza se establecen cuando las figuras son de la misma forma y tienen igual o diferente tamaño.

En la congruencia, los lados y los ángulos tienen la misma medida y, en la semejanza, las dos figuras tienen la misma forma, aunque no tengan necesariamente la misma medida o tamaño; sus ángulos correspondientes u homólogos deben ser congruentes y los segmentos correspondientes o lados homólogos deben guardar entre sí una relación proporcional.

¿Cuándo se puede afirmar que dos triángulos son semejantes? Para contestar esta pregunta es necesario que se cumplan las condiciones que se analizarán a continuación:

Obsérvense los siguientes triángulos: ¿serán semejantes?

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Si se toma con un transportador la medida del ángulo M, se puede ver que es congruente con el ángulo P; de la misma forma, el ángulo N es igual a Q, y R a O, por lo que se puede establecer que:

<M = <P = 60°; <N = <Q = 40°; <O = R=80°

Por otra parte, las medidas en milímetros de los lados opuestos a estos ángulos tienen una razón o constante de semejanza, esto es, el cociente de los lados opuestos a ángulos iguales es constante.

Graphics

Para comprobar que los ángulos M, N y O del GraphicsMNO son, respectivamente, congruentes a los ángulos P, Q y R del Graphics PQR, se puede calcar el PQR, recortar y sobreponer, uno a uno, los ángulos de los dos triángulos,

como se ilustra a continuación. Graphics

Graphics

Gracias a los datos obtenidos puede afirmarse que los triángulos MNO y PQR son semejantes. El símbolo ~ indica semejanza entre dos figuras, por lo que se pueden representar como:

Graphics

Con base en las características señaladas en el ejemplo anterior, se puede definir lo que es la semejanza entre triángulos.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales.

En los triángulos semejantes, los ángulos congruentes y los lados proporcionales reciben el nombre de homólogos.

Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes:

Primer criterio: ángulo - ángulo (a, a)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales.

Ejemplo:

Graphics

Si se dice que:Graphics

Si se traslada la medida de DE al segmento AB desde el punto A, se encuentra el punto G. Desde ese punto se traza una paralela al segmento BC para encontrar en AC el punto H.

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Los ángulos ABC y AGH son congruentes por ser correspondientes entre paralelas, con lo que se tiene que:

Graphics

Por lo tanto Graphics

Como los tres ángulos del Graphics ABC son congruentes con los ángulos del Graphics DEF, por definición de semejanza Graphics

Por el teorema de Tales se sabe que una recta paralela a uno de sus lados determina segmentos proporcionales.

Por lo que:

Graphics

Por ello se afirma que dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes.

Segundo criterio: lado - ángulo- lado ( l, a, l )

Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman.

Ejemplo:

Graphics

Trácese un triángulo semejante a éste con una constante de proporcionalidad de Graphics.

Se toma la medida del ángulo M y se traza un ángulo igual con vértice en R.

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Para encontrar la medida del segmento RS se establece la proporción

Graphicscomo se conoce la medida de MN (6cm), se sustituye ese valor

Graphics con ayuda de la ley fundamental de las proporciones. De esa manera se encuentra la medida de Graphics

Graphics

Para encontrar la medida delGraphics, se establece otra proporción.

Graphics

Como el criterio 2 ( l, a, l ) señala que, con dos lados proporcionales y siendo congruente el ángulo comprendido, se puede establecer la semejanza entre dos triángulos, entonces:

Graphics

Tercer criterio: lado - lado - lado ( l, l, l )

Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

Dado el triángulo GHI, construir un triángulo JKL semejante a él, sabiendo que la razón de semejanza o constante de proporcionalidad es de Graphics

Graphics

De acuerdo con el tercer criterio se afirma que:

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Se sustituyen en cada una de las razones las medidas (en milímetros) de los segmentos:

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Con las medidas de Graphics se construye el triángulo JKL, el cual, de con el criterio 3 (l, l, l) de congruencia, es semejante al GHI.

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