11. El círculo


Corresponde a la sesión de GA 2.11 UNA RELACIÓN NO AFECTIVA

Desde el punto de vista geométrico, el estudio del círculo ha resultado ser muy interesante, y lo es más cuando se logra encontrar la relación que existe entre los elementos que lo constituyen.

Hay una gran cantidad de cuerpos y objetos que presentan esta figura, como el caso de una moneda, la base de recipientes en forma cilíndrica, la rueda de una bicicleta, etcétera.

Antes de profundizar en el tema, es conveniente considerar que no hay que confundir lo que es la circunferencia con el círculo; por ello se procede a identificar ambas partes en la siguiente figura.

Graphics

Como puede observarse en la figura anterior, el contorno es la circunferencia, en tanto que el interior es el círculo.

A continuación se identificarán las rectas que cortan o tocan a la circunferencia, así como la que se encuentra ubicada fuera de la misma.

Graphics

La recta (1) corta la circunferencia en dos puntos; por lo tanto, se tiene que los puntos de esta recta son tanto interiores como exteriores a la circunferencia. Este tipo de rectas son conocidas como secantes.

La recta (2) toca a la circunferencia en un solo punto, el cual recibe el nombre de punto de tangencia; los demás puntos de la recta se localizan en el exterior de la circunferencia. Este tipo de rectas son conocidas como tangentes.

La recta (3) se encuentra fuera de la circunferencia, es decir, se ubica en el exterior de la misma y, por no tener ningún punto de contaco con ella, se le conoce como recta exterior.

Ahora se identificarán, en la siguiente figura, los segmentos y arcos que se pueden trazar en el círculo o en la circunferencia, según sea el caso.

Graphics

Como puede observarse, en la figura se han trazado los siguientes segmentos de recta.

El segmento AB es un radio del círculo. Cada punto de la circunferencia es el extremo de otro radio. Un radio es el segmento que une al centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia.

El segmento CD es una cuerda del círculo. Cada par de puntos de la circunferencia determina una cuerda del circulo una cuerda es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

El segmento GH es un diámetro del círculo. El diámetro del círculo es un segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro del círculo; se le considera como la cuerda de mayor tamańo que divide al círculo en dos partes congruentes

LM es un arco del círculo. Se define un arco como la parte continua de la circunferencia, limitada o comprendida entre dos puntos extremos, y se escribe Graphics para representarlo.

Ángulos y arcos en el círculo

Graphics

El vértice del ángulo ABC es el centro del círculo. <ABC es un ángulo central. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo.

El vértice del ángulo DEF es un punto de la circunferencia; los lados del ángulo intersecan la circunferencia en los puntos D y F. <DEF es un ángulo inscrito. Un ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados contienen una cuerda del círculo.

El vértice del ángulo GHI es un punto de la circunferencia y sus lados lo forman una tangente y una secante del círculo. <GHI es un ángulo semiinscrito.

Como puede observarse en la figura anterior, al trazar un ángulo central en el círculo, una parte de la circunferencia queda limitada por los lados del ángulo trazado, por lo que se considera a esa porción como arco subtendido asociado al ángulo que lo determinó.

Graphics

La medida en grados de un arco se determina por la medida de su ángulo central asociado; por ejemplo:

Graphics

A partir de la medida en grados de un arco se puede determinar su longitud, al considerar los 360° que mide la circunferencia y conocer la medida de su diámetro para calcular su longitud. Por ejemplo: si el diámetro del círculo anterior mide 5 cm, la circunferencia medirá:

3.14 x 5 = 15.70. Al establecer la proporción tenemos

15.70cm :360° = x: 60°

Así que, en este círculo, a un arco de 60° corresponde una longitud de 2.61 cm.

Ángulo central e inscrito

Graphics

Al observar en la figura anterior el ángulo central AOC y el ángulo inscrito ABC, que determinan el mismo arco, puede afirmarse que la medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central correspondiente.

Con la finalidad de aplicar la relación que hay entre las rectas, segmentos y ángulos anteriormente considerados, se utilizarán las bisectrices de un triángulo, como se indica a continuación.

Bisectrices de un triángulo

Graphics

Al trazar las tres bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo ABC, se observa que se cortan en un mismo punto, situado en el interior del triángulo; este punto se llama incentro y es el centro del círculo inscrito en el triángulo, el cual toca los tres lados del mismo. Los lados del triángulo son tangentes porque tienen un punto de contacto con la circunferencia; las bisectrices son secantes porque cortan a la circunferencia en dos de sus puntos.

Por último, se utilizarán las mediatrices con el mismo fin: aplicar en la práctica la relación de rectas, segmentos y ángulos.

Mediatrices de un triángulo

Graphics

Al trazar las tres mediatrices del triángulo ABC, el cual se encuentra dentro de un círculo, se observa que se cortan en un mismo punto, llamado circuncentro; éste es el centro del círculo circunscrito a la figura y cuya circunferencia toca sus tres vértices; por lo tanto, las mediatrices son secantes y los lados del triángulo son cuerdas.

Estas secantes y cuerdas, al cortarse, forman ángulos rectos, puesto que son perpendiculares.

El conocimiento de las relaciones que se pueden establecer entre las diversas líneas del círculo enriquece e incrementa el acervo de la geometría.


[ Índice Conceptos Básicos ][ Previo ][ Nivel Superior ][ Siguiente ]
Conceptos Básicos