10. Ecuaciones cuadráticas completas

Corresponde a la sesión de GA 2.10 ENCUENTRA LAS RAÍCES

Hasta este momento se sabe cómo resolver ecuaciones cuadráticas incompletas (puras y mixtas). Ahora se verá cómo se resuelven las cuadráticas completas. Para tal fin, recuérdese que en el texto 2.9 se planteó un problema que da origen a una cuadrática completa y cuya solución no se obtuvo. Dicho problema es el siguiente:

El grupo de danza folklórica de una comunidad va a participar en un concurso regional. No conoce el salón en el que se llevará a cabo la competencia, pero requiere saber cuáles son sus dimensiones para armar su coreografía. La única persona del grupo que conoce el salón informa que existe una pista de baile cuya área es de 70 m² y en la cual el largo mide 3 m más que el ancho. Pero, ¿cuánto mide de largo y cuánto de ancho?

La solución del problema se plantea traduciendo al lenguaje algebraico lo que está expresado en lenguaje común, y entonces:

Si el ancho de la pista se representa con x, el largo tiene que ser x + 3

como el área se obtiene multiplicando largo por ancho, se origina la ecuación:

(x + 3) x = 70

se realiza la multiplicación indicada y resulta:

x² +3x = 70

como ya se vio, la forma general de una ecuación cuadrática completa es:

ax² + bx + c = 0

Para que se pueda apreciar claramente esa forma en la ecuación planteada, se requiere eliminar al término independiente (70) del segundo miembro, para lo cual se recurre a las propiedades de la igualdad.

x² + 3x - 70 = 70 - 70

x² + 3x - 70 = 0

Obsérvese la ecuación con la forma general:

se aprecia que:

a = 1 (porque el coeficiente 1 no se escribe)

b = 3

c = - 70

esta apreciación es útil porque existe una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas completas, que es la siguiente:

Para aplicar la fórmula, se sustituyen las literales con los números de la ecuación y se realizan las operaciones indicadas, como se detalla en la siguiente página:

entonces:

se extrae la raíz cuadrada de 289

y se tiene:

como la raíz (17) puede ser positiva o negativa, se consideran dos valores para x :

Es claro que -10 no puede ser la solución del problema, porque la pista no puede medir -10 m de ancho o de largo. Por lo tanto, la solución debe ser 7 m, ya que el valor de es positivo.

Así:

Ancho = x = 7 m

Largo = x + 3m = l0m

Área = largo x ancho = 10 m x 7 m = 70 m²

Esto comprueba que al resolver correctamente la ecuación también fue acertada la solución del problema.

Véanse los siguientes ejemplos:

a) 2x² - 5x - 33 = 0

Fórmula :

a = 2

b= -5

c= -33

Sustituyendo en la fórmula:

Al realizar las operaciones indicadas:

- (-5) = 5

(-5)² = 25

(-4)(2)(-33) = -8(-33) = 264

2(2) = 4

se extrae la raíz cuadrada de 289

entonces queda:

Como la raíz de 289(17), puede ser positiva o negativa, se procede a obtener los dos valores de

Comprobación:

2x² - 5x - 33 = 0

b) 3x² - 2x - 8 = 0

Fórmula :

a = 3; b = -2; c = -8

Sustituyendo en la fórmula:

Al realizar las operaciones indicadas:

- (-2) = 2

(-2)² = 4

-4(3)(-8) = -12(-8) = 96

2(3) = 6

se extrae la raíz cuadrada de 100.

entonces queda:

Como la raíz de 100(10), puede ser positiva o negativa, se procede a obtener los dos valores de

Comprobación:

3x² - 2x - 8 = 0

La resolución de ecuaciones cuadráticas completas se aplica para resolver una infinidad de problemas. Por lo tanto, es conveniente adquirir habilidad para plantearías y resolverlas correctamente.