9. Ecuaciones cuadráticas incompletas


Corresponde a la sesión de GA 2.9 PURAS Y MIXTAS

En diversas ocasiones, al traducir el enunciado de un problema al lenguaje algebraico, se obtiene una ecuación. Esa ecuación puede tener más de una incógnita o puede suceder que su única incógnita esté elevada a alguna potencia. Como ejemplo, considérese la siguiente situación.

El grupo de danza folklórica de cierta localidad va a participar en un concurso regional. Para preparar adecuadamente su coreografía se requiere conocer las dimensiones del salón en el que se llevará a cabo la competencia. La única persona del grupo que conoce el salón les informa que el piso en el que van a bailar tiene un área de 70 m² y que mide 3 m más de largo que de ancho. Entonces ¿cuáles son sus dimensiones?

Para buscar la solución del problema se debe proceder así:

a) Si el ancho de la pista de baile se representa con x, el largo es x + 3 y, si se dibuja la figura representativa, se tiene que:

Graphics

b) Como la figura es un rectángulo, su área se obtiene multiplicando largo por ancho, o sea:

( x + 3) x = 70

Al efectuar la multiplicación indicada por medio del paréntesis, se tiene:

x² + 3x = 70

En esta ecuación, el mayor exponente de la incógnita es dos, por lo cual se le llama ecuación de segundo grado o cuadrática. Si se elimina el término independiente (70) del segundo miembro, se tiene que:

x² + 3x - 70 = 70 - 70

x² + 3x - 70 = 0

Esta es la forma clásica de una ecuación cuadrática completa, cuya forma general es:

ax² + bx + c = 0

Al comparar la ecuación que se obtuvo del problema con la forma general de la cuadrática completa, se observa que:

x² + 3x - 70 = 0

ax² + bx + c = 0

donde a es el coeficiente de x² (que en este caso no se escribe porque es uno), en el ejemplo a = 1, b es el coeficiente de x, o sea, x = 3 y c es el término independiente. Entonces c = - 70.

Es necesario considerar que en una ecuación de segundo grado o cuadrática puede faltar el término bx o el término independiente c, pero no el término ax² pues en ese caso la ecuación ya no sería de segundo grado. A estas ecuaciones se les llama cuadráticas incompletas.

Si falta el término bx, la ecuación es incompleta y tendrá la forma: ax² + c = 0 Ésta recibe el nombre de cuadrática pura.

Si falta el término independiente c, la ecuación es incompleta y tendrá la forma: ax² + bx = 0. Se le llama cuadrática mixta.

Naturalmente, el procedimiento para resolverlas tiene que ser diferente, dada la forma distinta de ellas: ax² + c = 0 y a² + bx = 0

Así, se tienen ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + c =0

Resuélvase la siguiente ecuación: 3x² - 48 = 0

Como su forma general es ax² + c = 0, conviene resolver simultáneamente tanto la ecuación como su forma general para obtener, con ello, una fórmula que se aplique a este tipo de ecuaciones.

Tómese en cuenta que es necesario emplear las propiedades de la igualdad y realizar las operaciones indicadas, dejando en el primer miembro al término que contiene a la incógnita (ax²) y en el segundo miembro al término independiente (c), como se ve a continuación.

Graphics

Las dos raíces cuadradas de 16 son :

Graphics

Por otra parte, la expresión Graphicspuede utilizarse como fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas puras.

Ejemplos:

a) 5x² - 20 = 0

a = 5

c = -20

Graphics

Sustituyendo:

Graphics

Comprobación

Graphics

b) 2x² - 18 = 0

a = 2

c = -18

Sustituyendo:

Graphics

Comprobación

Graphics

Así, hay ecuaciones cuadráticas de la forma ax² + bx = 0

Resuélvase la siguiente ecuación 3x² - 6x = 0.

Al observar que su forma general es ax² + bx =0, conviene resolver simultáneamente la ecuación y su forma general para obtener una fórmula que pueda ser aplicada al resolver ecuaciones de este tipo, empleando la factorización y una característica muy especial de la multiplicación: Si uno de los factores es cero, el producto es cero.

Ecuación 3x² - 6x = 0

Forma general ax² + bx = 0

Se toma en cuenta que x es factor común en el primer miembro y se factoriza:

x (3x -6) = 0

x (ax + b) = 0

Luego, se considera que el producto de cualquier número por 0 es 0, lo que significa que uno de los factores (x o 3 x - 6) es 0, o los dos factores equivalen a 0, ya que 0 x 0 = 0. Si x= 0, entonces se expresa Graphics =0.

Si 3x - 6 = 0 y ax + b = 0, se tiene :

Graphics

Luego, en una cuadrática mixta la incógnita tiene 2 valores, siendo uno de ellos 0, o sea:

Graphics

La expresión Graphics se puede aplicar como fórmula para obtener la solución de las cuadráticas mixtas.

Ejemplos:

Graphics

Comprobación

Graphics

Graphics

Comprobación

Graphics

Cuando las ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver con seguridad y eficiencia, se tiene la posibilidad de dar solución a una gran cantidad de problemas.

Ahora bien, el problema enunciado al inicio de este texto dio origen a la ecuación x² + 3x - 70 = 0, que es una ecuación cuadrática completa. El procedimiento para resolverla se verá más adelante


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