5. Factorización I


Corresponde a la sesión de GA 2.5 ¿SERÁ PERFECTO?

Factorización por factor común

La factorización es un proceso que permite descomponer en factores una expresión numérica.

Por ejemplo:

6 = 3 x 2

Producto,6; Factor,3; Factor, 2

Recuérdese que se llama factor a cada una de los números que se multiplican para formar un producto.

Ahora bien, obsérvense los siguientes ejemplos:

9 = 3 X 3

12 = 3 X 4

15 = 3 X 5

El número 3 aparece como factor común de 9, 12 y 15 porque cada uno de estos números se divide exactamente entre dicho factor común.

Análogamente, cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todas y cada una de las expresiones de un polinomio, se dice que es factor común de ellas. Así, 2x² es factor común de 8x²y, 6x4y² y 1 0x³y² porque cada monomio puede dividirse exactamente entre 2x², es decir:

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El factor común de los términos de un polinomio puede encontrarse en la forma siguiente:

Se busca el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes de todos los términos; y, de la literal o literales que aparezcan en todos los términos, se escoge la que tenga menor exponente.

De esta forma, para factorizar un polinomio cualquiera que tenga un factor común se debe proceder como se muestra en seguida:

Factorizar el polinomio Graphics

Para factorizar el polinomio, se busca el MCD de los coeficientes. De esta manera se tiene:

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Entonces el MCD de 9, 6,12, 3 = 3

Para encontrar la literal común, hay que observar cuál es común a cada uno de los términos y escoger la que tenga el menor exponente con el que aparece en el polinomio; en este caso, como hay dos literales que aparecen en todos los términos, se deben escoger las de menor exponente. De esta manera, y y son las literales con menor exponente; por lo tanto, el factor común del polinomio es 3x² y.

Dividiendo el polinomio entre el factor común, se tiene:

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Ahora bien, multiplicando el factor común por el cociente que resulta de dividir el polinomio dado entre dicho factor, resulta:

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Ejemplo:

Factorizar el polinomio.Graphics

El MCD de los coeficientes es 2 y las literales comunes con menores exponentes son. a²b. Por lo tanto, el factor común es 2a²b.

Dividiendo el polinomio entre el factor común, se tiene:

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Multiplicando el cociente por el factor común, resulta:

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Obsérvese otro ejemplo:

Factorizar el polinomio .Graphics

En este caso, el MCD es 1 y la literal común con menor exponente es Z³; por lo tanto, el factor común es Z³.

Dividiendo el polinomio entre el factor común, se tiene:

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Multiplicando el cociente por el factor común, resulta:

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Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.) es el que resulta de elevar al cuadrado un binomio cualquiera.

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Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto, véase si dos de sus términos son cuadrados perfectos, y si el otro término corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los términos cuadrados.

Ejemplo:

Graphicses un trinomio cuadrado perfecto (T.C.P.), porque el primer y tercer términos son cuadrados perfectos y, si se extraen sus raíces cuadradas, entonces se tiene que:

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El doble producto de estas dos raíces es igual al segundo término del trinomio, es decir:

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De esta manera, una vez que se ha identificado que un trinomio es cuadrado perfecto, se procede a factorizarlo estableciendo la relación que hay entre él y el binomio que lo origina, como se muestra en seguida:

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Como se puede observar, el signo que separa el binomio es el signo del término no cuadrático del trinomio cuadrado perfecto.

Véase cómo se factoriza la siguiente expresión:

4a² + 12ab + 9b²

Nótese que es un T.C.P., porque el primer y tercer términos son cuadráticos y el segundo término (l2ab) es el doble producto de las raíces del primer y tercer términos correspondientes. Entonces, para factorizarlo, se obtienen las raíces de los términos cuadráticos y se separan con el signo que tiene 12ab (en este caso es +); por lo tanto, resulta:

4a² + 12ab + 9b² = (2a + 3b)²

De esta forma, para factorizar un T.C.P., se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos cuadráticos, los cuales se relacionan con el signo del segundo término del trinomio para formar el binomio y éste se eleva al cuadrado.


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