4. Productos notables


Corresponde a la sesión de GA 2.4 PROCESO ABREVIADO

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos que responden a una regla cuya aplicación lleva al resultado más fácilmente; éstos reciben el nombre de productos notables. Algunos de ellos son los siguientes:

Cuadrado de un binomio

La expresión algebraica que consta de dos términos se llama binomio y, al multiplicarse por sí misma, recibe el nombre de binomio al cuadrado.

Algunos ejemplos son los siguientes:

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Si se obtiene la potencia (a + b)² con el algoritmo conocido, se tiene que:

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De donde se puede establecer lo siguiente:

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo.

Ejemplo:

Obtener la potencia de: (3a - 2b)²

El cuadrado del primer término: (3a)² = 9a²,

menos el doble del primero por el segundo: -2(3a . 2b)= -12ab,

más el cuadrado del segundo: (2b)² = 4b².

De donde se concluye que:

(3a - 2b)² = 9a² - l2ab + 4b²

Producto de dos binomios conjugados.

Se dice que dos binomios son conjugados cuando ambos tienen un término común y otro simétrico.

Ejemplos:

En (a + b) (a - b), donde a es común, b y -b simétricos.

En (3x + y²) (3x - y²), 3x es común, y -y², simétricos.

En (-2x + 5y) (2x + 5y), 5y es común, -2x y 2x, simétricos.

Obteniendo el producto de (a + b) (a- b) por el algoritmo conocido, se tiene que:

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De donde se puede concluir que:

El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del término común menos al cuadrado del término simétrico

Ejemplo:

Obteniendo el producto de (2a +5b) (-2a + 5b).

Se eleva al cuadrado el término común: (5b)² = 25b²,

menos el cuadrado del término simétrico: -(2a)² = -4a².

Por lo tanto:

(2a +5b) (-2a + 5b) = 25b² - 4a²

Producto de dos binomios con un término común

La expresión (a + b) (a + c) indica el producto de dos binomios, donde a es el término común y b y c son los términos no comunes.

Algunos ejemplos de dos binomios con un término común son:

(4x + 8) (4x - 6), donde 4x es el término común.

(3a + 2b) (4c + 3a), donde 3a es el término común.

(x + 3y) (-2b + 3y), donde 3y es el término común.

Obteniendo el producto de (a + b) (a + c) por medio del algoritmo tradicional, se tiene que:

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Con lo cual se llega a la regla siguiente:

El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más (o menos) el producto de la suma de los términos no comunes por el término común, más (o menos) el producto de los términos no comunes.

Ejemplo:

Obteniendo el producto de (5x + 5) (5x - 8).

Se eleva al cuadrado el término común: (5x)² = 25x².

Más (o menos) el producto de la suma de los términos no comunes por el término común: (5 - 8) 5x = 25x - 40x = -15x.

Más (o menos) el producto de los términos no comunes: (5) (-8) = -40.

De donde se concluye que:

(5x + 5) (5x - 8) = 25x² - 15x - 40

La aplicación de las reglas para obtener los productos notables facilita el proceso de resolución y permite obtener el resultado más rápidamente.


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