2. Leyes de los exponentes

Corresponde a la sesión de GA 2.2 A TODA LEY

A la operación matemática que representa, en forma abreviada, la multiplicación de factores iguales se le llama potenciación.

La potenciación, como expresión algebraica, la conforman los siguientes elementos:

a = base

m = exponente

b = potencia

Así se tiene que:

Con base en esta definición es posible entender las leyes de los exponentes.

Primera ley: Producto de potencias con la misma base.

Ejemplo:

a³ • a²

Por la definición de potencia se tiene:

donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:

a³ • a² = a³+²

=

Al generalizar se afirma que:

El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base

Ejemplo:

Por la definición de potencia se tiene:

Al cancelar factores iguales queda:

Al generalizar queda:

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Obsérvese ahora el siguiente ejemplo:

y se sabe que:

Por transitividad:

De lo que se concluye que:

Todo número exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo

Tercera ley: Potencia de una potencia

Ejemplo:

Por la definición de potencia se tiene:

Apoyándose en la ley 1;

Generalizando se tiene que:

La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

Cuarta ley: Potencia de un producto

Ejemplo: (ab)³

Al aplicar la definición de potencia:

(ab)³ = ab • ab • ab

Aplicando la ley conmutativa:

(ab)³ = a • a • a • b • b • b

Y como la potencia es una multiplicación abreviada, queda:

a³b³

Generalizando, se tiene que:

La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores

Quinta ley: Cuando un cociente se eleva a una potencia

Ejemplo:

Aplicando la definición de potencia:

Abreviando la multiplicación de fracciones:

Al generalizar se tiene que:

Para elevar una fracción a un exponente se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.

Los siguientes casos se deducen de las leyes anteriores. En la división de potencias de la misma base y exponente se aplica la segunda ley y resulta que:

Pero el cociente de la división (cuando el divisor y dividendo son iguales) es 1, entonces:

Por transitividad:

a° = 1

De donde se generaliza que:

Todo número diferente de cero con exponente 0 es igual a 1

Si se tiene la expresión:

Aplicando la definición de potencia:

Se cancelan los dividendos y divisores iguales y se tiene:

Por transitividad:

a¹ =a

Generalizando:

Todo número elevado a la primera potencia es igual que ese mismo número

Mención especial merece el caso de la potenciación con exponente fraccionario.

Ejemplo:

Si se eleva a la potencia que indica el denominador del exponente resulta que:

Por la definición:

Aplicando la primera ley de los exponentes, se tiene:

Por la propiedad transitiva:

Si se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad, se tiene:

Al eliminarse la raíz y la potencia (por ser operaciones inversas), se tiene que:

Generalizando:

En la resolución de expresiones algebraicas, la aplicación correcta de estas leyes serán de fundamental importancia para la obtención del resultado que se busca.