15. El área de poligonos regulares

Corresponde a la sesión de GA 2.15 CONSERVACIÓN DE LA FIGURA

Hasta ahora se han visto las fórmulas para determinar el área de polígonos de tres y cuatro lados (triángulos y algunos cuadriláteros, respectivamente), pero también hay figuras de cinco, seis, siete, n lados y de forma regular e irregular.

Un polígono regular es una figura que tiene sus lados iguales y sus ángulos congruentes (de igual medida).

Para determinar la fórmula del polígono regular de cinco lados (pentágono) se hacen las siguientes consideraciones:

sea el pentágono regular ABCDE

en donde:

Obsérvese que el pentágono está dividido en cinco triángulos de igual medida, esto es:

Lo cual se puede representar de la siguiente manera:

simplificando esta expresión se obtiene:

área del pentagono =

pero el término 5 · b determina el perímetro (p) del pentágono y "h" es el apotema (a), en consecuencia:

área del pentágono

esto significa que el área de un pentágono regular es igual al semiproducto del perímetro por el apotema.

Con esta fórmula puede hallarse el área de cualquier polígono regular conociendo su apotema y la medida de uno de sus lados (su perímetro se obtiene multiplicando su número de lados por la medida de uno de ellos); por esto se le conoce como la fórmula general para obtener el área de un polígono regular.

Ejemplo:

Obtener el área de una superficie hexagonal, si su perímetro es de 18 cm y su apotema es de 2.6 cm.

Por otro lado, al construir polígonos cada vez con más lados, éstos tienden a formar una circunferencia, la cual es el perímetro de un círculo y su apotema es el radio.

Una circunferencia se define como una línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

Círculo se puede definir como la superficie plana limitada por una circunferencia.

El radio (r) es el segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de una circunferencia.

Diámetro (D) es el segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia pasando por el centro y su longitud equivale a dos veces la longitud de un radio D = 2 r.

Hechas las consideraciones anteriores, la fórmula del área de un círculo se deduce a partir de la fórmula general para hallar el área de un polígono de n lados.

Se sustituye el perímetro (p) por la longitud de la circunferencia (2 r) y el apotema (a) por el radio (r), esto es:

simplificando esta expresión queda finalmente:

Ejemplo:

Se desea comprar un terreno para construir un lienzo charro que tenga un radio de 20 m. ¿Cuál deberá ser el área del terreno?